Capítulo 3 Transformaciones
La mayoría de las series de tiempo no son débilmente estacionarias, es decir que no muestran una media ni una varianza constantes a lo largo del tiempo y pueden mostrar tendencias crecientes o bien, decrecientes. Para poder trabajar con este tipo de series de una forma más sencilla y manejable, existen métodos para transformarlas y verlas como realizaciones de una serie de tiempo débilmente estacionaria. Las transformaciones más comunes son el suavizamiento a través de medias móviles o ajustando polinomios a la serie en cuestión, la diferenciación.
3.1 Suavizamiento por medias móviles
Se mencionó que las series de tiempo se pueden ver como la suma de tres componentes: una tendencia, una estacionalidad y una componente aleatorio o irregular. Ahora bien, en este método de suavizamiento el objetivo es estimar y extraer la tendencia \(\left(T_t\right)\) del modelo. Lo anterior se puede realizar estimando la tendencia con:
\[ \hat T_t=(2q+1)^{-1}\sum_{j=-q}^q X_{t-j},\space q+1\leq t\leq n-q \]
Este es uno de mucho filtros lineales que podrían aplicarse (\(\hat T_t=\sum_{j=-\infty}^\infty a_jX_{t-j}\)). Obsérvese que para valores grandes de \(q\), \((2q+1)^{-1}\sum_{j=-q}^q [X_{t-j}-\hat T_t]\approx 0\), lo cual no sólo atenua el ruido, también permite que la tendencia lineal \(T_t=c_0+c_1t\) pase sin distorsión. Sin embargo hay que tener cuidado en la selección de \(q\), ya que valores muy grandes, si \(T_t\) no es lineal, entonces se suavizará la serie pero la estimación de la tendencia será mala.
3.2 Suavizamiento por polinomios ajustados
En este método de suavizamiento el objetivo es estimar y extraer la tendencia (\(T_t\)) y la estacionalidad (\(E_t\)) del modelo. Si \(E_t= 0\), se tiene un caso de no estacionariedad simple, por lo que el proceso tiene un comportamiento estacionario alrededor de la tendencia y para estimar \(T_t\) se supone que tiene la siguiente forma:
\[ T_t = a_0 + a_1 +... + a_pt^p \]
Si se tiene \(p = 1\) la tendencia es lineal, si \(p = 2\) la tendencia es cuadrática.
Los parámetros \(a_i\) se estiman mediante mínimos cuadrados ordinarios, es decir que minimicen \(\sum_{i=1}^n (x_i-T_i)^2\).
3.3 Diferencias de Box-Jenkins
Consiste en aplicar diferencias a la serie de tiempo estudiada hasta que las observaciones se perciban como componentes de una serie débilmente estacionaria. Se debe comprender los siguientes operadores para el método:
El operador de retraso se denota con una letra \(B\) o \(\mathcal{L}\) y se define como el valor retrasado de una serie de tiempo temporal indicado por el exponente del operador. De manera particular se tiene \(BX_t = X_{t-1}\), por lo que si se aplica varias veces el operador, la serie se retardaría \(k\)-unidades temporales:
\[ B^kX_t=X_{t-k} \]
En particular \(B^0X_t=X_t\). Se puede utilizar con notación polinómica:
\[ \phi(B)X_t = \left(\phi_0+\phi_1B+\phi_2B^2\right)X_t = \phi_0X_t+\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2} \]
El operador diferencia se expresa con \(\nabla\) y se define como la diferencia entre el valor al periodo \(t\) y valor rezagado \(k\) periodos \(\nabla X_t=X_t-X_{t-1}\).
Ambos operadores se relacionan de la siguiente manera:
\[ \nabla Z_t=Z_t-Z_{t-1}=Z_t-BZ_t=(1-B)Z_t \] Teniendo que \(\nabla=(1-B)\) Si aplicamos el operador diferencia sucesivamente entonces se obtiene:
\[ \begin{array}{cc} \nabla^k=(1-B)^k; & \nabla^kX_t=\sum_{j=0}^k\frac{k!}{k!(k-1)!}(-1)^kX_{t-k} \end{array} \]