Capítulo 9 Predictores Lineales

Sea \(X_t\) un proceso estacionario. Se desea predecir \(X_{n+1}\) en una función lineal de lo observado hasta el tiempo \(n\) es decir con \({X_1,X_2,...,X_n}\). Entonces lo que buscamos es encontrar los coeficientes \(a_i\) con \(i=1,...,n\) tales que

\[ \hat{X}_{n+1}=a_1X_n+a_2X_{n-1}+...+a_nX_1 \]

Utilizando las varianzas y covarianzas entre los elementos de la serie de tiempo se obtiene que una estimación de las \(a_i's\) son las que den solución al siguiente sistema:

\[ \begin{bmatrix} Cov(X_1,X_1) & Cov(X_1,X_2) & Cov(X_1,X_3) & \dots & Cov(X_1,X_n) \\ Cov(X_2,X_1) & Cov(X_2,X_2) & Cov(X_2,X_3) & \dots &Cov(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ Cov(X_n,X_1) & Cov(X_n,X_2) & Cov(X_n,X_3) & \dots & Cov(X_n,X_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{bmatrix} = \\ \begin{bmatrix} Cov(X_{n+1},X_n) \\ Cov(X_{n+1},X_{n-1}) \\ \vdots\\ Cov(X_{n+1},X_1) \\ \end{bmatrix} \]

\[ \Gamma\underline{a} = \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_{n-1} \\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_1 & \dots &\gamma_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \gamma_{n-1} & \gamma_{n-2} & \gamma_{n-3} & \dots & \gamma_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots\\ \gamma_{n}\\ \end{bmatrix} = \gamma \] En general si deseamos predecir \(X_{n+h}\) dado \({X_1,X_2,...,X_n}\), el predictor lineal será

\[ \hat{X}_{n+h}=a_1X_n+a_2X_{n-1}+...+a_nX_1 \]

En donde el mejor predictor lineal serán los \(a_1,a_2,...,a_n\) tales que

\[ \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_1 & \gamma_2 & \dots & \gamma_{n-1} \\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_1 & \dots &\gamma_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \gamma_{n-1} & \gamma_{n-2} & \gamma_{n-3} & \dots & \gamma_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_h \\ \gamma_{h+1} \\ \vdots\\ \gamma_{h+n} \\ \end{bmatrix} \] \[\Gamma \underline{a}=\gamma\] Ejemplo ¿Cuál es el predictor lineal de \(X_3\) dado \(X_1, X_2\)?

\[ \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_1\\ \gamma_1 & \gamma_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_1\\ \gamma_2 \end{bmatrix} \]

Como \(\rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}\)

\[ \begin{bmatrix} 1 & \rho_1\\ \rho_1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho_1\\ \rho_2 \end{bmatrix} \implies \begin{array}{l} a_1+\rho_1a_2 = \rho_1\\ a1\rho_1+a_2 = \rho_2 \end{array} \] Y en general: \(\hat{X}_{n+h} = a_1X_n+a_2X_{n-1}+\cdots+a_nX_1\).

Ejercicios

• Sean \(X_1\), \(X_2\), \(X_4\), \(X_5\) obs. de un modelo \(MA(2)\) de la forma \(X_t = Z_t+0.5Z_{t-1}+0.25Z_{t-2}\). $Encontrar el mejor estimador para \(X_3\) en términos de \(X_1\) y \(X_2\). \(Z_t\sim N(0,1)\).
• Sean \(X_1\), \(X_2\), \(X_4\), \(X_5\) obs. de un modelo \(MA(2)\) de la forma \(X_t = Z_t-0.25Z_{t-2}\). $Encontrar el mejor estimador para \(X_3\) en términos de \(X_2\) y \(X_4\). \(Z_t\sim N(0,1)\).